Montrer que si \(\mathfrak I_q\) est un sous-espace vectoriel, alors \(q\) ne change pas de signe

Initialisation du raisonnement par l'absurde
Par l'absurde, supposons que \(\mathfrak I_q\) est un sous-espace vectoriel et que $$\exists x,q(x)\gt 0\quad\text{ et }\quad\exists y,q(y)\lt 0$$

On orthogonalise (\(\sigma(x,y)=0\))
on pose :$$y^\prime:=-\frac{\sigma(x,y)}{q(x)}x\implies\sigma(y^\prime,x)=\sigma(y,x)-\frac{\sigma(x,y)\cancel{q(x)}}{\cancel{q(x)}}=0$$

Normalisation
Quitte à normaliser, on peut supposer que \(q(x)=1\), \(q(y)=-1\)
$$x:=\frac x{\sqrt{q(x)}}\qquad y:=\frac y{\sqrt{q(y)}}$$

\(x+y\) et \(x-y\) sont alors isotropes
Ainsi, $$\begin{align} q(x+y)&=\sigma(x+y,x+y)\\ &=\sigma(x,x)+2\sigma(x,y)+\sigma(y,y)\\ &=1+0-1\\ &=0\end{align}$$ de même, \(q(x-y)=0\)

\(\mathfrak I_q\) sev \(\to\) \(x,y\in\mathfrak I_q\) \(\to\) absurde

On a donc \(x+y\in\mathfrak I_q\) et \(x-y\in\mathfrak I_q\), et donc $$\begin{align}\frac{x+y+x-y}2&=x\in\mathfrak I_q\\ \frac{x+y-(x-y)}{2}&=y\in\mathfrak I_q\end{align}$$ car \(\mathfrak I_q\) est un sous-espace vectoriel
Ce qui est absurde car \(x\notin\mathfrak I_q\) et \(y\notin\mathfrak I_q\) par hypothèse

Montrer que si \(q\) ne change pas de signe, alors \(\mathfrak I_q=\ker\sigma\), où \(\sigma\) est la forme polaire de \(q\)

Initialisation du raisonnement par l'absurde
On suppose qu'il existe \(x\in\mathfrak I_q\setminus\ker\sigma\)
Alors $$\exists y\notin x^\perp,\sigma(x,y)\ne0$$

Tester des valeurs de \(\sigma\) avec des combinaisons de \(x\) et \(y\) (on veut des signes différents)
Cas 1 : \(y\in\mathfrak I_q\)
Alors : $$\begin{align} q(x+y)&=q(x)+2\sigma(x,y)+\sigma(y,y)\\ &=2\sigma(x,y)\ne0\\ q(x-y)&=-2\sigma(x,y)\ne0\end{align}$$

\(q\) change de signe \(\to\) absurde
Donc $$q(x+y)q(x-y)=-4\sigma^2(x,y)\lt 0$$ c'est absurde car \(q\) ne change pas de signe par hypothèse

Normalisation
Cas 2 : \(y\notin\mathfrak I_q\)
Alors \(q(x+y)=2\sigma(x,y)+q(y)\)
On pose $$\begin{align} y^\prime&:=\frac y{\sqrt{\lvert q(y)\rvert}}\\ x^\prime&:=\begin{cases}\cfrac{x}{2\sigma(x,y)}&\text{si}\quad q(y)=-1\\ -\cfrac{x}{\sigma(x,y)}&\text{si}\quad q(y)=1\tag{cas 1,2}\end{cases}\\ x^\prime&:=\frac x{\sigma(x,y)}\end{align}$$

\(q\) change de signe \(\to\) absurde

Alors $$\begin{align} q(x+y)&=\frac{2\sigma(x,y)}{\sigma(x,y)}-1=1\tag{cas 1}\\ q(x-y)&=-2-1=-3\tag{cas 1}\\ \\ q(x+y)&=3\tag{cas 2}\\ q(x-y)&=-1\tag{cas 2}\end{align}$$
Il y a donc une absurdité puisque \(q\) ne change pas de signe par hypothèse

(Base orthonormée (Obtenir une base orthonormale à partir d'une base orthonormée))